Chapitre 4 − Dynamique

prérequis

assets/3eLoi_apesanteur.mp4

La dynamique est la branche de la mécanique qui relie les mouvements à leurs causes : les forces.

1. Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v_i}\) représente la vitesse instantanée d’un solide au point \(i\). On s’en approche en calculant la vitesse moyenne sur un tout petit intervalle.

Caractéristiques :

Notation : \(\overrightarrow{v_i}\)

Montrer que l’on fait simplement v = d / t. Parler des deux méthodes (points consécutifs ou méthode centrée)

Calcul : \(\overrightarrow{v_i} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M}_{i+1}}{2·\Delta t}\)

calcul de vecteur vitesse|\(\overrightarrow{v_i} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M}_{i+1}}{2·\Delta t}\qquad\frac{distance}{durée}\)

ex 3 p. 224
ex 2 p. 224

2. Vecteur variation de vitesse

Le vecteur variation de vitesse entre les points \(i\) et \(j\) se note \(\overrightarrow{\Delta v}_{i \rightarrow j}\). On le place généralement entre les points i et j.

a) Calcul du vecteur variation de vitesse

\[{\overrightarrow{\Delta v}}_{i \rightarrow i+1} = \overrightarrow{v_{i+1}} - \overrightarrow{v_{i}}\]

Si \(\overrightarrow{v_5} = \begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\), et \(\overrightarrow{v_6} = \begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}\), alors \(\overrightarrow{\Delta v}_5 = \begin{pmatrix}5-3\\8-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)

calcul du vecteur variation de vitesse|\[\overrightarrow{\Delta v}_i = \overrightarrow{v}_{i+1} - \overrightarrow{v}_i\]

b) Construction du vecteur variation de vitesse

méthode :

5 p. 224

exercice

En 2021, Devonte Graham, joueur des New Orleans Pelicans a marqué le plus long buzzer beater de tous les temps (18,6m)

assets/New_Orleans_Pelicans_Devonte_Graham_buzzer_beater.mp4

Voici une représentation de la trajectoire du ballon lors du shoot :

  1. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? La hauteur maximale a été de 8,5 m
  2. Quelle a été la durée du shoot ? Le shoot a durée 14 intervalles, soit 14 × 0,2 = 2,8 s
  3. Justifier que le ballon est bien en chute libre  ? En négligeant les frottements de l’air, le ballon n’est soumis qu’à son poids. Il est donc en chute libre.
  4. Calculer la vitesse au point M₂ sachant que l’intervalle de temps entre deux positions est de Δt = 0,2 s, et que l’échelle est \(1\text{ cm } \rightarrow 1\text{ m}\).

\(v_2 = \frac{M_1M_3}{2×Δt} = \frac{4,25}{2×0,2} = 10,6 \text{m.s}^{-1}\)

  1. Représenter le vecteur \(\overrightarrow{v_2}\), en prenant pour échelle : \(1\text{ cm }\rightarrow 1 \text{ m.s}^{-1}\)
  2. Représenter le vecteur vitesse au point où la vitesse est minimale.

La vitesse est minimale entre M8 et M9.

\(v_\text{mini} = \frac{M_8M_9}{Δt} = \frac{1,3}{0,2} = 6,5\text{ m.s}^{-1}.\)

  1. Représenter le vecteur vitesse aux points M5 et M6.

\(v_5 = \frac{M_4M_6}{Δt} = \frac{3,2}{0,4} = 8\text{ m.s}^{-1}.\)

\(v_6 = \frac{M_8M_9}{Δt} = \frac{3,0}{0,4} = 7,5\text{ m.s}^{-1}.\)

  1. Représenter le vecteur variation de vitesse sur la distance M5M6, noté \({\overrightarrow{\Delta v}}_{5\rightarrow 6}\).

\(\overrightarrow{Δv}_{5\rightarrow 6} = \overrightarrow{v}_6 - \overrightarrow{v}_5\)

  1. Refaire les étapes nécessaires pour tracer \(\overrightarrow{Δ v}_{10 \rightarrow 12}\)

\(v_{10} = \frac{M_4M_6}{Δt} = \frac{2,75}{0,4} = 6,9\text{ m.s}^{-1}.\)

\(v_{12} = \frac{M_8M_9}{Δt} = \frac{3,1}{0,4} = 7,75\text{ m.s}^{-1}.\)

  1. Que remarque-t-on sur le sens et la direction de \(\overrightarrow{Δv}\) ? La variation de vitesse est toujours verticale, vers le bas. C’est toujours le cas lors d’une chute libre.

3. Force et vecteur variation de vitesse

On définit \(\sum{\overrightarrow{F}}\) comme la somme des forces appliquées à l’objet étudié.

Principe fondamental de la dynamique : (ou 2e loi de Newton)

\[\frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} \approx \frac{\sum \overrightarrow{F}}{m}\]

L’accélération d’un objet M est proportionnelle à la somme des forces appliquées à cet objet divisé par la masse de l’objet.

N.B.1 − La relation devient égale lorsque l’intervalle \(Δt\) devient infiniment petit.

N.B.2 − On retrouve le principe d’inertie, lorsque \(\overrightarrow{F} = 0\), alors \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\), le mouvement est rectiligne uniforme.

principe fondamental de la dynamique|\[\frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} \approx \frac{\sum \overrightarrow{F}}{m}\]